Przepływy w kanałach otwartych. Równanie Manninga-Stricklera

Materiał przygotowany z pomocą AI

Treść tego wpisu została wygenerowana z wykorzystaniem sztucznej inteligencji i nie została jeszcze zweryfikowana merytorycznie.

Przepływy w kanałach otwartych

Równanie Manninga-Stricklera jest jednym z podstawowych narzędzi hydrauliki inżynierskiej. Pozwala obliczyć prędkość i przepływ w kanałach otwartych w warunkach ruchu jednostajnego, tj. gdy głębokość, prędkość i pole przekroju nie zmieniają się wzdłuż koryta [5, 7].

Rys historyczny — równanie Chézy’ego

W 1775 r. Antoine de Chézy opracował pierwszą empiryczną zależność opisującą przepływ w kanałach otwartych.

$$v=C\sqrt{R_h\cdot I}$$

gdzie $v$ — prędkość [m/s], $C$ — współczynnik (prędkości) Chézy’ego [m${}^{1/2}$/s], $R_h$ — promień hydrauliczny [m], $I$ — spadek linii energii [-] (często tożsamy ze spadkiem wody lub dna).

Opory ruchu w korytach rzecznych

Opór hydrauliczny w korytach otwartych zależy od wielu czynników [5, 11, 14]:

1. Materiał dna i skarp— szorstkość powierzchni (piasek, żwir, głazy, beton)
2. Roślinność — trawa, krzewy i drzewa w korycie oraz na terenach zalewowych
3. Nieregularność przekroju — zmiany kształtu wzdłuż koryta
4. Przeszkody — kamienie, korzenie, pnie, elementy infrastruktury
5. Krętość koryta — zwiększa straty energii
6. Transport rumowiska — ruchome formy denne zmieniają opór dynamicznie
7. Głębokość wody — wpływa na stosunek elementów szorstkości dna do głębokości przepływu

W praktyce wpływ tych czynników ujmowany jest we współczynniku szorstkości $n$ Manninga.

Równanie Manninga-Stricklera

Geneza

Równanie opracowano niezależnie kilkukrotnie [7, 12]:

• 1891 — Robert Manning opublikował wzór na podstawie badań irlandzkich rzek i kanałów [8]
• 1923 — Albert Strickler powiązał współczynnik szorstkości z wielkością ziarna dna [9]

Stąd spotykane nazwy: wzór Manninga lub Manninga-Stricklera.

Postać Manninga

$$v=\frac{1}{n}\cdot R_h^{2/3}\cdot I^{1/2}$$

Przepływ:

$$Q=F\cdot v=\frac{A}{n}\cdot R_h^{2/3}\cdot I^{1/2}$$

gdzie:

• $Q$ — przepływ [m${}^3$/s]
• $F$ — pole przekroju czynnie prowadzącego wodę [m${}^2$]
• $n$ — współczynnik szorstkości Manninga [s/m${}^{1/3}$]
• $R_h=F/U$ — promień hydrauliczny [m]
• $U$ — obwód zwilżony [m]
• $I$ — spadek linii energii [-]

Postać Stricklera

W Europie często stosuje się równoważną postać [9]:

$$v=k_{St}\cdot R_h^{2/3}\cdot I^{1/2}$$

gdzie $k_{St}=1/n$ to współczynnik Stricklera [m${}^{1/3}$/s]. Wyższy $k_{St}$ oznacza gładsze koryto.

Związek z równaniem Chézy’ego

Porównując wzory Manninga i Chézy’ego [5]:

$$C=\frac{R^{1/6}}{n}$$

Manning zauważył, że współczynnik $C$ zmienia się proporcjonalnie do $R_h^{1/6}$, co czyni $n$ właściwością samej powierzchni koryta — w przybliżeniu niezależną od promienia hydraulicznego.

Współczynnik szorstkości Manninga

Interpretacja fizyczna

Współczynnik $n$ jest empiryczną miarą oporu, jaki koryto stawia przepływowi. Mimo że formalnie ma wymiar [s/m${}^{1/3}$], jest traktowany jako parametr kalibracyjny zależny od materiału dna, roślinności, geometrii i stanu koryta [5, 11].

Metoda Cowana (1956)

Cowan zaproponował rozkład $n$ na składowe addytywne z mnożnikiem krętości [10]:

$$n=(n_0+n_1+n_2+n_3+n_4)\cdot m_5$$

Symbol	Czynnik
$n_0$	Materiał dna
$n_1$	Nieregularność powierzchni dna i ścian
$n_2$	Zmienność form i wymiarówprzekroju
$n_3$	Przeszkody w korycie
$n_4$	Roślinność
$m_5$	Krętość koryta (rozwinięcie w planie)

Składowe równania

Pole przekroju czynnego $F$

Pole przekroju poprzecznego strugi wody, prostopadłego do kierunku przepływu.

Przekrój prostokątny (szerokość $b$, głębokość $h$):

$$F=b\cdot h$$

Przekrój trapezowy (szerokość dna $b$, głębokość $h$, nachylenie skarp $m$ — stosunek poziomego do pionowego):

$$F=h\cdot (b+m\cdot h)$$

Obwód zwilżony $U$

Długość linii kontaktu wody z dnem i ścianami koryta w przekroju poprzecznym. Swobodne zwierciadło wody nie wchodzi w skład obwodu zwilżonego.

Przekrój prostokątny:

$$U=b+2h$$

Przekrój trapezowy:

$$U=b+2h\sqrt{m^2+1}$$

Promień hydrauliczny $R$

$$R_h=\frac{F}{U}$$

Promień hydrauliczny jest miarą efektywności hydraulicznej przekroju — im większy $R_h$, tym mniejszy udział strat tarcia na jednostkę pola przekroju. Dla szerokich, płytkich koryt ($b\gg h$) promień hydrauliczny zbliża się do głębokości wody: $R_h\approx h$.

Spadek $I$

• Spadek energetyczny $I_f$ — spadek linii energii wzdłuż koryta
• Spadek dna $I_0$ — spadek podłużny dna koryta

Dla ruchu jednostajnego: $I_f=I_0$. W praktyce, gdy nie dysponujemy pomiarem linii energii, przyjmuje się spadek dna jako przybliżenie.

Przykład 1 — koryto trapezowe (jednodzielne)

Dane:

• Szerokość dna: $b=5$ m
• Głębokość wody: $h=2,0$ m
• Nachylenie skarp: $m=2$ (2H:1V)
• Współczynnik szorstkości: $n=0,027$
• Spadek dna: $I=0,007$

Obliczenia:

Pole przekroju:

$$F=h(b+mh)=2,0\cdot (5+2\cdot 2,0)=2,0\cdot 9=18,00{\text{ m}}^2$$

Obwód zwilżony:

$$U=b+2h\sqrt{m^2+1}=5+2\cdot 2,0\cdot \sqrt{4+1}=5+4,0\cdot 2,236=13,94\text{ m}$$

Promień hydrauliczny:

$$R_h=\frac{F}{U}=\frac{18,00}{13,94}=1,29\text{ m}$$

Prędkość i przepływ:

$$v=\frac{1}{n}\cdot R_h^{2/3}\cdot I^{1/2}=\frac{1}{0,027}\cdot 1,29^{2/3}\cdot 0,007^{1/2}$$ $$v=37,04\cdot 1,19\cdot 0,0265=1,16\text{ m/s}$$ $$Q=v\cdot F=1,16\cdot 18,00=20,88{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Koryto złożone (wielodzielne)

Problem koryt złożonych

Koryto złożone to koryto, w którym główna koryto przechodzi w tereny zalewowe (międzywały) o odmiennych cechach hydraulicznych. Bezpośrednie zastosowanie wzoru Manninga do całego przekroju daje wyniki obarczone znacznym błędem, ponieważ [1, 5]:

• prędkość w korycie głównym jest często znacznie wyższa niż na międzywalu,
• szorstkość poszczególnych stref różni się zasadniczo,
• pojedynczy promień hydrauliczny nie odzwierciedla zróżnicowania warunków przepływu.

Rozwiązaniem jest metoda koryta dzielonego — podział przekroju na hydraulicznie jednorodne podprzekroje [1, 5]:

$$Q=\sum _{i=1}^N{Q}_i=\sum _{i=1}^N\frac{F_i}{n_i}\cdot R_{h_i}^{2/3}\cdot I^{1/2}$$

Istnieją dwa podstawowe sposoby podziału: pionowy i poziomy.

Opis przekroju — dane do przykładu 2

Przekrój złożony asymetryczny z korytem głównym i dwoma międzywałami:

Element	Szerokość dna	Głębokość wody	Nachylenie skarp	$n$
Terasa lewa	$b_l=12$ m	$h_l=1,5$ m	$m_l=2,5$ (wał)	0,060
Koryto główne	$b_k=32$ m	$h_k=4,0$ m	$m_k=3$ (obie skarpy)	0,035
Terasa prawa	$b_p=25$ m	$h_p=1,0$ m	$m_p=2$ (wał)	0,030

Spadek: $I=0,0004$.

Głębokości na międzywalu mierzone od dna koryta:

• Lewy brzeg: $h_k-h_l=4,0-1,5=2,5$ m
• Prawy brzeg: $h_k-h_p=4,0-1,0=3,0$ m

Przekrój jest asymetryczny — lewy brzeg jest niższy niż prawy.

Metoda podziału pionowego

Linie podziału prowadzi się pionowo od krawędzi pełnokorytowych (brzegów) do zwierciadła wody. Przekrój dzieli się na trzy podprzekroje: koryto główne oraz lewe i prawe międzywale.

Kluczowa zasada: Pionowe linie podziału (granice woda-woda) nie są wliczane do obwodu zwilżonego żadnego z podprzekrojów. Przyjmuje się, że naprężenia styczne na tych granicach są pomijalne [1, 5].

Koryto główne

Pole przekroju składa się z trzech stref (ze względu na asymetryczne poziomy wody na międzywalu):

Od dna do poziomu lewego międzywala ($z=0\to 2,5$ m) — trapez pełny:

$$F_1=\frac{b_k+(b_k+2\cdot m_k\cdot 2,5)}{2}\cdot 2,5=\frac{32+47}{2}\cdot 2,5=98,75{\text{ m}}^2$$

Od lewego do prawego brzegu ($z=2,5\to 3,0$ m) — lewa strona ograniczona pionową linią podziału, prawa skarpa biegnie dalej:

$$F_2=\frac{47,0+48,5}{2}\cdot 0,5=23,88{\text{ m}}^2$$

Od prawego brzegu do zwierciadła ($z=3,0\to 4,0$ m) — obie strony ograniczone liniami podziału:

$$F_3=48,5\cdot 1,0=48,50{\text{ m}}^2$$

Łącznie:

$$F_{mc}=98,75+23,88+48,50=171,13{\text{ m}}^2$$

Obwód zwilżony (dno + skarpy do odpowiednich poziomów napełnienia; bez linii podziału):

$$U_{mc}=b_k+h_{bl}\sqrt{m_k^2+1}+h_{bp}\sqrt{m_k^2+1}=32+2,5\cdot \sqrt{10}+3,0\cdot \sqrt{10}$$ $$U_{mc}=32+7,91+9,49=49,39\text{ m}$$ $$R_{mc}=\frac{171,13}{49,39}=3,464\text{ m}$$ $$Q_{mc}=\frac{171,13}{0,035}\cdot 3,464^{2/3}\cdot 0,0004^{1/2}=4889\cdot 2,289\cdot 0,02=223,8{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Międzywał lewy

Przekrój: prostokąt (dno płaskie) + trójkąt (skarpa wału $m_l=2,5$):

$$A_l=b_l\cdot h_l+\frac{1}{2}{m}_l\cdot h_l^2=12\cdot 1,5+\frac{1}{2}\cdot 2,5\cdot 2,25=18,00+2,81=20,81{\text{ m}}^2$$ $$P_l=b_l+h_l\sqrt{m_l^2+1}=12+1,5\cdot \sqrt{7,25}=12+4,04=16,04\text{ m}$$ $$R_l=\frac{20,81}{16,04}=1,298\text{ m}$$ $$Q_l=\frac{20,81}{0,060}\cdot 1,298^{2/3}\cdot 0,02=346,8\cdot 1,190\cdot 0,02=8,3{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Międzywał prawy

$$A_p=b_p\cdot h_p+\frac{1}{2}{m}_p\cdot h_p^2=25\cdot 1,0+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1,0=25,00+1,00=26,00{\text{ m}}^2$$ $$P_p=b_p+h_p\sqrt{m_p^2+1}=25+1,0\cdot \sqrt{5}=25+2,24=27,24\text{ m}$$ $$R_p=\frac{26,00}{27,24}=0,954\text{ m}$$ $$Q_p=\frac{26,00}{0,030}\cdot 0,954^{2/3}\cdot 0,02=866,7\cdot 0,969\cdot 0,02=16,8{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Wynik — podział pionowy

$$Q_{total}=Q_{mc}+Q_l+Q_p=223,8+8,3+16,8=248,9{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Podprzekrój	$A$ [m${}^2$]	$P$ [m]	$R$ [m]	$n$	$V$ [m/s]	$Q$ [m${}^3$/s]
Koryto główne	171,13	49,39	3,464	0,035	1,31	223,8
Międzywał lewy	20,81	16,04	1,298	0,060	0,40	8,3
Międzywał prawy	26,00	27,24	0,954	0,030	0,65	16,8
Suma	217,94	—	—	—	—	248,9

Metoda podziału poziomego (Posey’a)

Zaproponowana przez Posey’a [16], dzieli przekrój linią poziomą na wysokości brzegu pełnokorytowego. Powstają dwie strefy:

• Strefa dolna — koryto główne do poziomu bankfull
• Strefa górna — cała szerokość przepływu powyżej bankfull

Pozioma linia podziału nie jest wliczana do obwodu zwilżonego żadnej ze stref [1, 5, 16].

Dla przekroju asymetrycznego (różne poziomy brzegów) linię podziału prowadzi się na wysokości niższego brzegu — w naszym przypadku lewego ($z=2,5$ m).

Strefa dolna (koryto do $z=2,5$ m)

$$A_d=\frac{(32+47)}{2}\cdot 2,5=98,75{\text{ m}}^2$$ $$P_d=32+2\cdot 2,5\cdot \sqrt{10}=32+15,81=47,81\text{ m}$$ $$R_d=\frac{98,75}{47,81}=2,065\text{ m}$$ $$Q_d=\frac{98,75}{0,035}\cdot 2,065^{2/3}\cdot 0,02=2821\cdot 1,622\cdot 0,02=91,6{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Strefa górna (powyżej $z=2,5$ m)

Pole przekroju strefy górnej jest dopełnieniem strefy dolnej:

$$A_g=A_{total}-A_d=217,94-98,75=119,19{\text{ m}}^2$$

Obwód zwilżony strefy górnej obejmuje fizyczne granice powyżej poziomu $z=2,5$ m. Linia podziału (nad korytem głównym) nie jest wliczana:

Segment	Długość [m]	$n$
Skarpa wału lewego ($m_l=2,5$; $h=1,5$ m)	$1,5\cdot \sqrt{7,25}=4,04$	0,060
Dno międzywału lewego	12,00	0,060
Prawa skarpa koryta ($m_k=3$; $z$ od 2,5 do 3,0 m)	$0,5\cdot \sqrt{10}=1,58$	0,035
Dno międzywału prawego	25,00	0,030
Skarpa wału prawego ($m_p=2$; $h=1,0$ m)	$1,0\cdot \sqrt{5}=2,24$	0,030
Suma	44,86	—

$$R_g=\frac{119,19}{44,86}=2,657\text{ m}$$

Strefa górna obejmuje obszary o różnej szorstkości. Do obliczenia zastępczego (kompozytowego) współczynnika $n$ można zastosować wzór Hortona (1933) [5]:

$$n_c={\left[\frac{{\sum }_i{P}_i\cdot n_i^{3/2}}{P}\right]}^{2/3}$$

Obliczenie:

$$\sum P_i\cdot n_i^{3/2}=16,04\cdot 0,060^{1,5}+1,58\cdot 0,035^{1,5}+27,24\cdot 0,030^{1,5}$$ $$=16,04\cdot 0,01470+1,58\cdot 0,00655+27,24\cdot 0,00520=0,2358+0,0104+0,1415=0,3877$$ $$n_c={\left(\frac{0,3877}{44,86}\right)}^{2/3}=0,00864^{2/3}=0,042$$

Przepływ w strefie górnej:

$$Q_g=\frac{119,19}{0,042}\cdot 2,657^{2/3}\cdot 0,02=2838\cdot 1,918\cdot 0,02=108,9{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Wynik — podział poziomy

$$Q_{total}=Q_d+Q_g=91,6+108,9=200,5{\text{ m}}^3\text{/s}$$

Porównanie metod

Metoda	$Q$ [m${}^3$/s]	Uwagi
Podział pionowy	248,9	Tendencja do zawyżania — duży $R$ koryta głównego
Podział poziomy (Posey’a)	200,5	Tendencja do zaniżania — mały $R$ strefy dolnej
Różnica	~24%

Rozbieżność wynika z odmiennego przypisania głębokości wody ponad brzegiem. W podziale pionowym warstwa powyżej bankfull „zasila” koryto główne (zwiększając $R$ i prędkość), podczas gdy w podziale poziomym stanowi część strefy górnej o niższej efektywności hydraulicznej.

Żadna z metod nie uwzględnia wymiany pędu między strefami o różnych prędkościach (tzw. apparent shear stress na granicy). Bardziej zaawansowane podejścia — jak Interacting Divided Channel Method (IDCM) — parametryzują naprężenia styczne na granicach podziału [1].

Wnioski

Zalety równania Manninga-Stricklera

• Prostota — wymaga trzech parametrów ($n$, $R$, $I$) i nie wymaga iteracji
• Bogate zaplecze empiryczne — dostępne obszerne tablice $n$ i ponad 150 lat doświadczeń praktycznych [5, 11]
• Uniwersalność — stosowalne od kanałów betonowych po koryta rzeczne z roślinnością
• Łatwa implementacja — od obliczeń ręcznych po modele numeryczne (HEC-RAS, MIKE, TELEMAC)
• Metoda koryta dzielonego pozwala rozszerzyć zastosowanie na koryta złożone z terenami zalewowymi

Ograniczenia

• Tylko ruch jednostajny — wzór nie uwzględnia przyspieszenia; nie nadaje się bezpośrednio do ruchu nieustalonego (fale powodziowe) ani niejednostajnego (cofki, przejścia) [5]
• Charakter empiryczny — współczynnik $n$ nie wynika z równań fizycznych; jego dobór wymaga doświadczenia i danych pomiarowych
• Zmienność $n$ z głębokością — w korytach z roślinnością lub rumowiskiem $n$ zależy od stanu wody, co wzór traktuje jako stałą [11, 14]
• Strome spadki — przy $I>10\%$ napowietrzanie zmienia właściwości przepływu i wartość $n$
• Koryta złożone — metoda koryta dzielonego pomija wymianę pędu między strefami, co prowadzi do błędów rzędu 5-30% [1]
• Dokładność — nawet w dobrych warunkach typowy błąd wynosi $\pm 25-30\%$; przy starannym doborze $n$ i danych terenowych można go zmniejszyć do $\pm 10-15\%$

Literatura

1. Kubrak J., Nachlik E. (2003). Hydrauliczne podstawy obliczania przepustowości koryt rzecznych. Warszawa: Wydawnictwo SGGW.
2. Sawicki J. (2009). Mechanika przepływów. Gdańsk: Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej.
3. Puzyrewski R., Sawicki J. Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
4. Sobota J. Hydraulika i hydrologia. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu.
5. Chow V.T. (1959). Open-Channel Hydraulics. New York: McGraw-Hill.
6. Zawadzki P. Wykłady z hydrauliki. Katedra Inżynierii Wodnej i Sanitarnej, Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu.
7. Henderson F.M. (1966). Open Channel Flow. New York: Macmillan.
8. Manning R. (1891). On the flow of water in open channels and pipes. Transactions of the Institution of Civil Engineers of Ireland, 20, 161-207.
9. Strickler A. (1923). Beiträge zur Frage der Geschwindigkeitsformel und der Rauhigkeitszahlen für Ströme, Kanäle und geschlossene Leitungen. Bern: Mitteilungen des Eidgenössischen Amtes für Wasserwirtschaft, Nr. 16.
10. Cowan W.L. (1956). Estimating hydraulic roughness coefficients. Agricultural Engineering, 37(7), 473-475.
11. Arcement G.J., Schneider V.R. (1989). Guide for Selecting Manning’s Roughness Coefficients for Natural Channels and Flood Plains. USGS Water-Supply Paper 2339.
12. Lewicki L. Obliczanie przepustowości koryt rzecznych. Studium podyplomowe, Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej, Politechnika Krakowska.
13. Cunge J.A., Holly F.M., Verwey A. (1980). Practical Aspects of Computational River Hydraulics. London: Pitman.
14. Meyer-Peter E., Müller R. (1948). Formulas for bed-load transport. Proceedings of the 2nd Meeting of the IAHR, Stockholm.
15. Posey C.J. (1967). Computation of discharge including over-bank flow. Civil Engineering, ASCE.

Zobacz także

• Hydraulika