Geomorfologia i GIUH

Materiał przygotowany z pomocą AI

Treść tego wpisu została wygenerowana z wykorzystaniem sztucznej inteligencji i nie została jeszcze zweryfikowana merytorycznie.

Ten materiał jest częścią cyklu Podstawy modelowania matematycznego

Geomorfologiczne prawa Hortona-Strahlera

Sieć rzeczna (sieć hydrograficzna lub układ hydrograficzny) jest ogół cieków na określonym terenie. Stanowi ona efekt procesów zachodzących w czasie i przestrzeni geograficznej. Sieć rzeczną tworzą wszystkie cieki występujące na określonym obszarze. Charakteryzują się one znacznym zróżnicowaniem wielkości, przebiegu i gęstości. Aby możliwa stała się ich analiza, należy je uporządkować. W końcu ubiegłego wieku hydrografowie wprowadzili podział cieków na rzędy (numerowane kolejno od ujścia).

Brakujący rysunek lub wzór

Prawa sieci rzecznej stanowią ogólnie przyjęte zależności statystyczne, służące do opisu sieci cieków oraz ich zlewni. Wyróżnia się następujące prawa sieci rzecznej Hortona-Strahlera:

• prawo liczby cieków,
• prawo długości cieków,
• prawo powierzchni zlewni.

Prawo liczby cieków (wskaźnik bifurkacji)

gdzie:

• $M$ — najwyższy rząd cieku w rozpatrywanej zlewni,
• $N_i$ — liczba cieków rzędu $i$.

Bazując na wskaźniku bifurkacji $R_B$ można określić liczbę ogniw (cieków) rzędu $\omega$:

$N_{\omega }=R_B^{\Omega -\omega }$

gdzie:

• $\omega$ — dany rząd cieku,
• $\Omega$ — najwyższy rząd cieków.

Prawo długości cieków

gdzie:

• $M$ — najwyższy rząd cieku w rozpatrywanej zlewni,
• $L_i$ — długość cieków rzędu $i$.

Na podstawie wskaźnika długości cieków $R_L$ można określić średnią długość cieku rzędu $\omega$:

${\bar{L}}_{\omega }={\bar{L}}_1\cdot R_L^{\omega -1}$

gdzie:

• $\omega$ — dany rząd cieku,
• ${\bar{L}}_1$ — średnia długość cieków 1 rzędu.

Prawo powierzchni zlewni

gdzie:

• $M$ — najwyższy rząd cieku w rozpatrywanej zlewni,
• $A_i$ — powierzchnia zlewni rzędu $i$.

Na podstawie wskaźnika powierzchni zlewni $R_A$ można określić średnią powierzchnię zlewni rzędu $\omega$:

${\bar{A}}_{\omega }={\bar{A}}_1\cdot R_A^{\omega -1}$

gdzie:

• $\omega$ — dany rząd zlewni,
• ${\bar{A}}_1$ — średnia powierzchnia zlewni odwadniana przez cieki rzędu $\omega$.

Brakujący rysunek lub wzór

Brakujący rysunek lub wzór

---

Geomorfologiczny model odpływu ze zlewni: metoda estymacji parametrów

Częstym podejściem w modelowaniu odpływu ze zlewni jest wykorzystanie praw sieci rzecznej Hortona-Strahlera w tzw. geomorfologicznym chwilowym hydrogramie jednostkowym (GIUH). W praktyce często do opisu hydrogramu odpływu bezpośredniego, z parametrami określonymi na podstawie GUIH, wykorzystuje się następujące modele:

• prosty model Nasha w postaci kaskady zbiorników liniowych,
• chwilowy hydrogram jednostkowy Clarka.

Kluczowe znaczenie w tego typu modelach ma znajomość praw sieci rzecznej Hortona, które służą do określenia parametrów chwilowego hydrogramu jednostkowego. Warunkiem stosowalności GUIH jest, by sieć rzeczna spełniała prawa Hortona-Strahlera.

Opadem efektywnym zasilane będą zbiorniki reprezentujące cieki 1 rzędu. Przepływy w ciekach wyższego rzędu kształtują w znacznej mierze ich dopływy oraz w mniejszym stopniu bezpośrednie zasilanie opadowe. Probabilistyczny opis transformacji opadu efektywnego w odpływ powierzchniowy wymaga określenia:

• czasu przebywania kropli opadu w każdym zbiorniku,
• dynamicznego prawdopodobieństwa przejścia ze zbiornika $i$ do $j$, określonego przez rząd cieku.

Parametry fali jednostkowej

W praktyce obliczane są dwa parametry fali jednostkowej: kulminacja $q_p$ i czas do kulminacji $t_p$. Dla uproszenia obliczeń przyjmuje się trójkątny kształt hydrogramu.

Oznaczenia:

• $R_L$ — wskaźnik długości cieków,
• $R_A$ — wskaźnik powierzchni zlewni,
• $R_B$ — wskaźnik liczby cieków,
• $v$ — prędkość kulminacji,
• $L_o$ — długość cieku najwyższego rzędu.

Hydrogram jednostkowy Nasha

Hydrogram jednostkowy Nasha opisany jest równaniem:

$u(t)=\frac{1}{k\cdot \Gamma (N)}{\left(\frac{t}{k}\right)}^{N-1}{e}^{-t/k}$

gdzie:

• $u(t)$ — rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego [h⁻¹],
• $t$ — czas od początku układu współrzędnych [h],
• $k$ — parametr retencji zbiornika [h],
• $N$ — liczba zbiorników kaskady,
• $\Gamma (N)$ — funkcja gamma, której wartość dla całkowitej liczby zbiorników wynosi: $\Gamma (N)=(N-1)!$

Estymacja parametrów $N$ i $k$

Liczba zbiorników kaskady $N$:

$N=3,29\cdot R_B^{0,78}\cdot R_L^{0,07}/R_A$

Parametr retencji zbiornika $k$:

$k=0,48\cdot \frac{R_L^{0,48}\cdot L_M}{R_A^{0,55}\cdot v\cdot 3,6}$

gdzie:

• $R_L$ — wskaźnik długości cieków,
• $R_A$ — wskaźnik powierzchni zlewni,
• $R_B$ — wskaźnik liczby cieków,
• $L_M$ — długość cieku najwyższego rzędu [km],
• $v$ — prędkość przepływu w cieku [m/s].

Prędkość przepływu fali wezbraniowej

Prędkość przepływu fali wezbraniowej [m/s] oraz współczynnik fali kinematycznej oblicza się na podstawie następujących wielkości:

• $H_{isr}$ — średnie natężenie opadu efektywnego [mm/h],
• $A_M$ — powierzchnia zlewni najwyższego rzędu [km²],
• $n$ — współczynnik szorstkości koryta,
• $B$ — szerokość koryta [m],
• $s$ — spadek podłużny cieku.

Brakujący rysunek lub wzór

Brakujący rysunek lub wzór

---

Model EBA4SUB (Event-Based Approach for Small and Ungauged Basins)

Istota modelu: całkowita wysokość opadu efektywnego i straty początkowe określane są z oryginalnej metody NRCS-CN dla epizodu opadowego, które stanowią podstawę do określenia parametru modelu $GA$ — przewodności hydraulicznej gleby w stanie nasycenia.

Rzędne IUH

$WFIUH(t)=\frac{L(x)\cdot L(x)}{V(x)\cdot V(x)}$

Brakujący rysunek lub wzór

Brakujący rysunek lub wzór

---

Model EBA4SUBURB

Brakujący rysunek lub wzór

---

Model Muskingum transformacji fali

Ważną rolę w modelowaniu odpływu ze zlewni odgrywa transformacja fali wezbraniowej w korycie rzeki głównej. Ruch i zmiany kształtu fali wezbraniowej w trakcie przepływu przez odcinek rzeczny lub zbiornik wodny to tzw. propagacja fali.

Do wyznaczania propagacji fali wzdłuż koryta rzecznego można stosować modele oparte na pełnych lub uproszczonych równaniach de Saint-Venanta. Doświadczenia dotyczące praktycznego zastosowania tych modeli wykazywały dużą zgodność obserwowanych hydrogramów z obliczeniami przeprowadzonymi za pomocą modeli uproszczonych (Więzik 2015). W zależności od dostępnej informacji hydrologicznej stosuje się najczęściej: model Muskingum (Muskingum-Cunge) oraz Convex.

Brakujący rysunek lub wzór

Brakujący rysunek lub wzór

Równanie retencji Muskingum

Całkowita objętość bryły retencji wynosi:

$S=S_{pr}-S_{kl}=k{Q}_d+kx(Q_g-Q_d)=k[x{Q}_g+Q_d(1-x)]$

gdzie:

• $k$ — stała retencji, zwykle wyrażana jako zbliżona wartość przejścia fali przez badany odcinek [h],
• $x$ — parametr równania określający kształt klina retencji, od 0,0 do 0,5; dla $x=0,5$ fala przemieszcza się bez zmiany kształtu, dla $x=0,0$ następuje spłaszczenie fali, średnio $x=0,2$.

Postać różnicowa równania Muskingum

Przedstawione równanie nosi nazwę równania Muskingum. Może być przedstawione w postaci różnicowej dla kolejnych przedziałów czasowych $\Delta t$, dla których przeprowadza się analizę przejścia fali, przy czym $\Delta t$ przyjmuje się w przedziale od $2kx$ do $k$:

$S_2-S_1=k[(Q_{g2}-Q_{g1})x+(Q_{d2}-Q_{d1})(1-x)]$

Porównując równania uzyskuje się:

$0,5(Q_{g2}-Q_{g1})\Delta t-0,5(Q_{d2}-Q_{d1})\Delta t=k[(Q_{g2}-Q_{g1})x+(Q_{d2}-Q_{d1})(1-x)]$

a po przekształceniu uzyskuje się poszukiwaną wartość $Q_{d2}$:

$Q_{d2}=c_0{Q}_{g2}+c_1{Q}_{g1}+c_2{Q}_{d1}$

gdzie $c_0$, $c_1$, $c_2$ — współczynniki równania.

Procedura iteracyjna

Operację tę powtarza się dla kolejnych kroków czasowych $\Delta t$, przy czym wartości w następnym kroku czasowym odpowiadają wartościom z kroku poprzedniego. Procedurę tę wyraża się jako:

$Q_{d(n+1)}=c_0{Q}_{g(n+1)}+c_1{Q}_{g(n)}+c_2{Q}_{d(n)}$

gdzie $Q_{d(n+1)}$ — odpływ w przekroju zamykającym na końcu przedziału $\Delta t$.

Współczynniki c

Parametry $c$ wyznacza się jako:

$c_0=\frac{-kx+0,5\Delta t}{k-kx+0,5\Delta t}$

$c_1=\frac{kx+0,5\Delta t}{k-kx+0,5\Delta t}$

$c_2=\frac{k-kx-0,5\Delta t}{k-kx+0,5\Delta t}$

Wyznaczanie parametrów $k$ i $x$

Parametry $k$ i $x$ mogą zostać wyznaczone na podstawie obserwacji znanych wartości dopływu i odpływu z analizowanego odcinka rzeki. Dokonuje się tego poprzez założenie różnych wartości parametru $x$ i — przy znanym dopływie i odpływie — obliczenie wartości $k$ z równania:

$k=\frac{0,5\Delta t\left[(Q_{g2}-Q_{g1})-(Q_{d2}-Q_{d1})\right]}{x(Q_{g2}-Q_{g1})+(1-x)(Q_{d2}-Q_{d1})}$

Licznik powyższego równania stanowi objętość wody zmagazynowanej w analizowanym obszarze w czasie $\Delta t$, natomiast mianownik to średnia ważona przepływu w obszarze.

Brakujący rysunek lub wzór

Model Muskingum-Cunge

Parametr $k$ w modelu Muskingum-Cunge oblicza się ze wzoru:

$k=\frac{\Delta x}{c}$

gdzie:

• $\Delta x$ — długość odcinka [m],
• $c$ — prędkość kinematyczna [m·s⁻¹].

Dla koryta trapezowego parametr wagowy $x$, przy założeniu, że koryto jest szerokie, a obwód zwilżony $U$ w przybliżeniu jest równy szerokości koryta na poziomie zwierciadła wody, oblicza się z równania:

$X=0,5-\frac{Q_0}{2\cdot c\cdot S\cdot B\cdot \Delta x}$

gdzie:

• $Q_0$ — przepływ odniesienia [m³·s⁻¹],
• $S$ — spadek koryta,
• $B$ — szerokość koryta [m].

Przepływ odniesienia $Q_0$

Przepływ $Q_0$ określa się ze wzoru:

$Q_0=I_0+0,5(I_p+I_0)$

gdzie:

• $I_p$ — przepływ kulminacyjny fali wezbraniowej w górnym przekroju odcinka cieku [m³·s⁻¹],
• $I_0$ — przepływ początkowy w chwili $t=0$ [m³·s⁻¹].

Prędkość kinematyczna

Prędkość kinematyczną dla przepływu odniesienia oblicza się z równania:

$c=1,25\cdot {\left(\frac{Q_0}{B}\right)}^{0,4}\cdot n^{0,6}\cdot S^{0,3}$

gdzie:

• $n$ — współczynnik szorstkości Manninga [s·m⁻¹/³].

Powiązane materiały

• GIUH i Horton-Strahler — zastosowanie praw geomorfologicznych do hydrogramów wezbraniowych
• Model Nasha — kaskada zbiorników liniowych jako baza GIUH
• NRCS-CN — metoda SCS-CN w modelu EBA4SUB
• Modele zlewni — kontekst klasyfikacji modeli
• Sieć rzeczna — charakterystyki hydrograficzne zlewni

Zobacz także

• MOC Podstawy modelowania matematycznego
• Hydrogramy syntetyczne
• Hydrogramy wezbrań